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[拼音]:nengxingxing he yiban digui

[英文]:effectiveness and general recursiveness

数理逻辑、数学和计算机理论科学所研究的一个重要课题。数学中很多定理,尤其是存在性定理往往不是能行的,如虽然已经证明了某某方程有根,但却无法求出其根,甚至无法求得比较精确的近似值。对很多数学家尤其是采用直觉主义或构造主义观点的数学家说来,欠缺能行性的定理是不能接受的。然而对于所谓“能行性”,长期以来都未有精确的定义,以致于很难对之作深入的探讨。

原始递回函式(见递回论)是处处可以计算的,它又包括了人们在数论中所曾使用过的数论函式,看来似乎可把“能行可计算函式”限于原始递回函式。对此,德国数学家W.阿克曼于1924年构造了一个数论函式,它是可计算的,但是却不是原始递回函式,从而推翻了上述猜想。1932年,美国数学家A.丘奇提出了λ换位演算。在这演算内可以表示自然数,并且利用运运算元λ而作出了λ可定义函式,其中包括原始递回函式。1934年,K.哥德尔根据J.赫尔布兰德的一个建议,提出了一般递回函式。其定义是:如果能够作出一组方程式,使得只利用变元代以常数以及相等的数可以彼此替换两个过程,便能够汇出函式f的一切值,而函式f便叫做一般递回函式。不久,美国学者S.C.克利尼证明了这个一般递回函式与丘奇的λ可定义全函式是相同的,并且也与使用叠置、原始递回式和摹状运算元而得到的全函式相同。1936年,英国数学家A.M.图林提出以其姓命名的图林机器理论,并证明了可用图林机器计算的数论全函式恰好是λ可定义全函式。由于这些函式类都比原始递回函式类更广泛而又彼此相等,因此丘奇也于1936年提出了一个论题,即能行可计算的全函式类恰好是λ可定义全函式类,也就是一般递回函式类。后来发现,把能行可计算性推广到部分函式更有意义也更重要。于是,丘奇的论题便成为:能行可计算的部分函式恰好是递回部分函式,而能行可计算的全函式也恰好是递回全函式,亦即一般递回函式。

根据丘奇的论题,便可以对判定问题作进一步的讨论。

判定问题分问答题与求作题两种。要求回答“是”“否”的叫做问答题,要求用一个自然数回答的叫做求作题。例如,“3整除 5吗?”是问答题,“求m,n之积”是求作题。问题又分个别题与大量题两种。如果在问题中已给出全部资料,因而当时已有具体而明确答案的叫做个别题;问题中并未给出全部资料而含有引数,须把引数代以具体数值后才能作出答案的叫做大量题。对个别题除要求答案正确外,别无要求。对大量题则一般要求在未给出引数的值时,先有一个公共的解法,引数值给出后,即能按这个公共解法而求得答案。例如,把求作题的答案看作引数 m,n的函式f(m,n),把问答题本身看作引数m,n的谓词P(m,n),则求作题就是求函式f(m,n)的值,而问答题则是判定谓词P(m,n)的真假。如果函式f(m,n)是递回全函式即一般递回函式,该问题就可以完全解决。因为, m,n给出后必能求得f(m,n)之值作为答案。如果f(m,n)是递回部分函式,而且能够判知f(m,n)有无定义,这时 f(m,n)叫做潜伏递回函式。那末,当m,n 的值给出以后,就可以判定f(m,n)有无定义,若有定义必定可求得 f(m,n) 的值作为答案,若无定义亦可用“无定义”作为答案。所以,对这个问题仍是可以完全解决的。如果f(m,n)是递回部分函式而且不是潜伏递回,则当m,n的值给出后,只能假定它有定义而计算下去。这样,若f(m,n)有定义,必可求得其值作为答案;若f(m,n)没有定义,计算过程则有可能永无休止地继续下去而无法给出答案。对此,就可以说这个问题是可以半解决的,因为它只要有答案必能给出。如果f(m,n)不是递回半函式,即使f(m,n)有值也未必能算出,因此说这个问题是完全不可解决的。

对于问答题 P(m,n)可先引进它的特征函式 f(m,n),当P(m,n)成立时,f(m,n)=0;当 P(m,n)不成立时,f(m,n)=1。如果f(m,n)为递回全函式,则可以说这个问答题是完全可以判定的。因为,m,n给出后,必可判定P(m,n)的真假。如果 f(m, n)不是递回全函式,则不应马上说这个问题完全不可解。这时,先引进两个部分函式如下:f1(m,n)=0当P(m,n)成立时,否则作为无定义;f2(m,n)=0当P(m,n)不成立,否则作为无定义。如果f1(m,n) 是递回部分函式,则可说问答题P(m,n)是可正半判定的;如果 f2(m,n)是递回部分函式,则问答题P(m,n) 是可负半判定的。如果 f1与f2都不是递回半函式,便可说问答题是完全不可判定的。容易证明,如果 f1(m,n)与f2(m,n)都是递回半函式,亦即如果问答题P(m,n)既可正半判定又可负半判定,那末P(m,n)便是完全可判定的。因为,人们可以同时计算 f1(m,n)与f2(m,n),结果必有一函式有值,从而可以判定P(m,n)的真假。

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